Neural PDEs: Datenaugmentierte Stencil-Emulation verbessert Systemidentifikation

Partielle Differentialgleichungen (PDEs) bilden die Grundlage für die Modellierung zahlreicher natürlicher und technischer Systeme. Statt herkömmlicher numerischer PDE‑Solver können diese Modelle als „neuronale PDEs“ formuliert werden, bei denen Teile oder die gesamte Gleichung durch ein neuronales Netzwerk ersetzt werden. Solche neuronalen PDEs lassen sich leichter differenzieren, linearieren, reduzieren oder für Unsicherheitsquantifizierung nutzen.

Die Autoren stellen eine ressourcenschonende Datenaugmentierung vor, die aus einem Computer‑Modell synthetische Trainingsdaten erzeugt. Durch eine raumfüllende Stichprobe lokaler „Stencil“-Zustände wird die spatiotemporale Redundanz, die bei Trajektorien‑Daten entsteht, drastisch reduziert. Gleichzeitig werden selten besuchte Zustände überrepräsentiert, was die Generalisierung des neuronalen PDEs über den gesamten Zustandsraum verbessert.

In Experimenten konnten sie zeigen, dass präzise neuronale Stencil‑Operatoren bereits aus synthetischen Daten, die dem Äquivalent von zehn Zeitschritten einer numerischen Simulation entsprechen, gelernt werden. Die Genauigkeit steigt weiter, wenn zusätzlich eine komplette Trajektorie aus dem Computer‑Modell zur Verfügung steht – ein Szenario, das in der Praxis häufig vorkommt.

Für mehrere PDE‑Systeme führten die Autoren Tests durch, die deutlich machen, dass die datenaugmentierten Stencil‑Daten zu besser trainierten neuronalen Operatoren führen. Im Vergleich zu einfach aus Trajektorien stichprobenbasierten Daten zeigen sich klare Leistungssteigerungen, was die Methode als vielversprechenden Ansatz für die Systemidentifikation von Computer‑Modellen qualifiziert.