Neue Messgröße: Relative Wasserstein-Winkel liefert bessere Gauß-Approximation

In einer neuen Studie auf arXiv wird ein innovatives Konzept vorgestellt, das die Abweichung einer Stichprobenverteilung von einer Gauß-Verteilung unter dem Rahmen der optimalen Transportmessung quantifiziert. Durch die Nutzung der Kegelgeometrie des relativ translational-invarianten quadratischen Wasserstein-Raums werden zwei neue geometrische Größen eingeführt: der relative Wasserstein-Winkel und der orthogonale Projektionabstand. Diese Maße geben präzise Einblicke in die Nicht-Gaußigkeit einer Verteilung.

Die Autoren zeigen, dass der von zwei Strahlen im Wasserstein-Raum erzeugte Füllkegel flach ist, wodurch Winkel, Projektionen und Skalarprodukte eindeutig definiert werden können. Aus dieser geometrischen Perspektive wird die Gauß-Approximation als ein Projektionsproblem auf den Gauß-Kegel formuliert. Interessanterweise kann die gängige Momentenabgleich-Gauß-Verteilung nicht die \(W_2\)-nahe Gauß-Verteilung für eine gegebene Stichprobe sein.

Für eindimensionale Fälle liefern die Forscher geschlossene Formeln für die neuen Größen und erweitern diese auf klassische Verteilungsfamilien wie Uniform, Laplace und Logistik. In höheren Dimensionen wird ein effizienter stochastischer Optimierungsalgorithmus auf Basis einer semi-diskreten Dualformulierung entwickelt. Experimente mit synthetischen und realen Feature-Verteilungen zeigen, dass der relative Wasserstein-Winkel robuster als die reine Wasserstein-Distanz ist und die vorgeschlagene nahe Gauß-Verteilung bessere Ergebnisse bei der Bewertung von Fréchet-Inception-Distances (FID) liefert.