Finite‑Difference‑Gradienten‑Regularisierung verbessert PINN‑Genauigkeit bei Wärmeleitung

Physik‑informierte neuronale Netzwerke (PINNs) werden häufig mit einem einzigen Skalar‑Loss trainiert, obwohl die zu ermittelnde Größe oft viel spezifischer ist. In einer neuen Studie wird ein hybrides Design vorgestellt, bei dem der PDE‑Residual weiterhin über automatische Differenzierung (AD) berechnet wird, während ein zusätzlicher, schwacher Term auf Finite‑Differenzen (FD) basiert und die Gradienten des Residualfeldes penalisiert. Dieser FD‑Term reguliert das Residualfeld, ohne den PDE‑Residual selbst zu ersetzen.

Die Idee wurde in zwei Schritten getestet. Im ersten Schritt wurde ein kontrolliertes Poisson‑Benchmark‑Problem verwendet, um einen Basis‑PINN, den FD‑Residual‑Gradienten‑Regularizer und einen AD‑Äquivalenten zu vergleichen. Im zweiten Schritt wurde dieselbe Logik auf ein dreidimensionales annulares Wärmeleitungs‑Benchmark (PINN3D) übertragen. Dort konzentrierten sich die Fehler des Basis‑PINN vor allem an einer wellenförmigen Außenwand, und der zusätzliche FD‑Term wurde als an die Wand angrenzender, körperfitted Shell‑Gitter implementiert.

Im ersten Schritt zeigte der FD‑Regularizer die gleiche Wirkung wie die Residual‑Gradienten‑Kontrolle, offenbarte jedoch einen Kompromiss zwischen Feldgenauigkeit und Residual‑Sauberkeit. Im zweiten Schritt verbesserte die Shell‑Regularisierung die anwendungsrelevanten Größen, insbesondere den Fluss an der Außenwand und das Verhalten der Randbedingungen. Über die Seed‑Reihen 0‑5 und 100 000 Trainings‑Epochen stellte sich die zuverlässigste Konfiguration als ein fester Shell‑Gewicht von 5 × 10⁻⁴ im Rahmen des Kourkoutas‑Beta‑Optimierers heraus. Im Vergleich zu einer Übereinstimmung ohne Shell‑Term sank die mittlere RMSE der Außenwand‑Randbedingung von 1,22 × 10⁻² auf 9,29 × 10⁻⁴, und die mittlere RMSE des Wand‑Flusses von 9,21 × 10⁻³ auf 9,63 × 10⁻⁴.

Zusätzlich zeigte sich, dass der Adam‑Optimierer mit beta₂ = 0,999 bei einem geeigneten Anfangs‑Lern­rate‑Wert nutzbar wird, was die Flexibilität des Ansatzes weiter unterstreicht.